Το πρόβλημα του Monty Hall

Το πρόβλημα του Monty Hall, αυτή η διάσημη σπαζοκεφαλιά, αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα για να καταδείξει κανείς το εξής: Όταν παρουσιάζεται σε κάποιον η πρόκληση του να επιλέξει μεταξύ ενός ενδεχομένου με μεγάλες πιθανότητες για ευνοϊκή έκβαση και δυο ενδεχομένων με μικρότερες πιθανότητες για επαλήθευση, τότε οι περισσότεροι άνθρωποι εμφανίζουν μια βασική ανικανότητα στο να καταφέρουν να ζυγίσουν σωστά τις πιθανότητες επιτυχίας.

Προφανώς και αυτή η παράμετρος είναι ιδιαίτερα σημαντική για κάθε παίκτη του στοιχήματος. Για να το θέσουμε απλά αν αυτός δεν μπορεί να αναγνωρίσει τις πιθανότητες που κρύβονται πίσω από τις αποδόσεις και δεν μπορεί να αντιληφθεί αν οι αποδόσεις στις νομιμες στοιχηματικες εταιριες αντιπροσωπεύουν αξία σε σχέση με τις πραγματικές πιθανότητες επαλήθευσης, τότε δεν υπάρχει καμία απολύτως περίπτωση να βγει κερδισμένος μακροπρόθεσμα και νομοτελειακά θα εμφανίσει χασούρα μετά από ένα μεγάλο δείγμα πονταρισμάτων.

Το πρόβλημα του Monty Hall

Ένα καινούργιο αυτοκίνητο κρύβεται πίσω από μια πόρτα, ενώ πίσω από τις άλλες δυο κρύβονται δυο κατσίκες. Πρέπει να μαντέψεις ποια από τις τρεις πόρτες κρύβει το αυτοκίνητο για να το κερδίσεις, όμως δεν έχεις καμία απολύτως γνώση που θα σου επιτρέψει να κάνεις οποιαδήποτε διάκριση ανάμεσα στις τρεις πόρτες. Αφού επιλέξεις μια από τις τρεις πόρτες, τότε ανοίγει μια από τις υπόλοιπες δυο και σου αποκαλύπτεται η μια από τις δυο κατσίκες. Τώρα σου προσφέρεται μια νέα επιλογή. Να διαλέξεις την άλλη πόρτα, ή να εμμείνεις στην αρχική σου επιλογή.

Ο τηλεπαρουσιαστής του τηλεπαιχνιδιού “Lets make a deal”που παίζονταν στην τηλεόραση  από τις δεκαετίες του 60′ και του 70′ έδωσε το όνομά του στον συγκεκριμένο γρίφο. Πρόκειται για έναν απλό μαθηματικό γρίφο, ο οποίος όμως καταφέρνει να καταδείξει με τον πλέον αποτελεσματικό τρόπο, πόσο οι άνθρωποι δυσκολεύονται να λάβουν μια ιδιαίτερα εύκολη απόφαση.

Με αυτό το απλό αλλά έξυπνα παρουσιάσιμο τρικ, το τηλεπαιχνίδι κατάδειξε πως ο μέσος άνθρωπος μπορεί να εμφανίσει αντι-διαισθητική συμπεριφορά όταν έρθει αντιμέτωπος με αινίγματα πιθανοτήτων, κάτι που συμβαίνει με τον ίδιο και απαράλλαχτο τρόπο και στον μέσο παίκτη του στοιχήματος και τον περιστασιακό τζογαδόρο. Όταν η συγκεκριμένη ερώτηση τέθηκε στο περιοδικό Parade, 10.000 αναγνώστες παραπονέθηκαν πως η απάντηση που είχε δημοσιευθεί ήταν λανθασμένη και μάλιστα ανάμεσα σε όσους το έκαναν, υπήρχαν και αρκετοί καθηγητές μαθηματικών.

Η πιθανότητα πως το αυτοκίνητο κρύβεται πίσω από την πόρτα που απομένει είναι 66.6%. Η λύση στο πρόβλημα του Monty Hall είναι απλή: Πρέπει πάντα να αλλάζεις την πόρτα που επιλέγεις. Αφού η πρώτη πόρτα ανοιχτεί και αποκαλυφθεί η κατσίκα, τότε το αυτοκίνητο είναι σίγουρα και με απόλυτη βεβαιότητα πίσω από μια εκ των δυο θυρών που παραμένουν κλειστές (αν και δεν υπάρχει κανένας απολύτως τρόπος να διαπιστώσει κανείς ποια από τις δυο είναι αυτές). Οι περισσότεροι συμμετέχοντες στο παιχνίδι, δρώντας διαισθητικά, δεν αντιλαμβάνονταν το πλεονέκτημα στο να επιλέξουν την άλλη κλειστή πόρτα, αφού υπέθεταν πως κάθε πόρτα έχει την ίδια ακριβώς πιθανότητα να κρύβει το αυτοκίνητο και ίση με 1/3.

Αυτό όμως είναι λάθος. Στην πραγματικότητα οι πιθανότητες να κερδίσει κανείς το αυτοκίνητο διπλασιάζονται με το να αλλάξεις την πόρτα που έχεις διαλέξει. Αν και ισχύει πως αρχικά κάθε πόρτα έχει 33.3% πιθανότητες να κρύβει το αυτοκίνητο, αφού αποκαλύπτεται η πρώτη κατσίκα, η πιθανότητα για το αυτοκίνητο να κρύβεται στην άλλη πόρτα ανεβαίνει στο 66.6%.

Το ευκολότερο για να υπολογίσει κανείς αυτές τις πιθανότητες είναι να θεωρήσει πως θα διαλέξει μεταξύ της αρχικής πόρτας που επέλεξε (33.3% πιθανότητα) και του συνδυασμού των  πιθανοτήτων για τις άλλες δυο πόρτες (33.3% + 33.3%). Αυτό συμβαίνει γιατί αφού επιλεγεί αρχικά η πόρτα, οι άλλες δυο συνδυαστικά έχουν 66.6% πιθανότητα να περιέχουν το αυτοκίνητο. Εφόσον η μια από αυτές ανοίγει και αποκαλύπτεται η κατσίκα, η άλλη πόρτα συνεχίζει να έχει 66.6% πιθανότητες να κρύβει πίσω της το αυτοκίνητο.

Μπορείτε να δοκιμάσετε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο προσομοιωτή του προβλήματος πατώντας εδώ. Μπορείτε μάλιστα να τρέξετε αυτόματα την προσομοίωση, ώστε να  παράγει χιλιάδες αποτελέσματα, ώστε να αποδείξετε πως ισχύουν οι παραπάνω πιθανότητες.

Γνωρίζοντας πότε οι πιθανότητες είναι εναντίον σου

Ο παραπάνω γρίφος καταδεικνύει έξυπνα, πόσο εύκολο είναι να πέσει κανείς στην παγίδα να θεωρήσει μη τυχαία δεδομένα, ως αυτά να ήταν τυχαία και συνεπώς να μην καταφέρει να τα αξιοποιήσει όπως θα έπρεπε. Η σύγχρονη μορφή του τηλεπαιχνιδιού, είναι το γνωστό “Deal-No Deal” το οποίο συμπεριλαμβάνει 26 κλειστές βαλίτσες, οι οποίες εμπεριέχουν διαφορετικά χρηματικά ποσά. Και η σύγχρονη μορφή του τηλεπαιχνιδιού καταδεικνύει με τον πλέον ανάγλυφο τρόπο την αδυναμία του μέσου συμμετέχοντα να αντιληφθεί πότε αυτός βρίσκεται σε στρατηγικά ισχυρή ή αδύναμη θέση. Για το λόγο αυτό πολλοί λειτουργούν ενστικτωδώς, αφού δεν καταφέρνουν να αντιληφθούν τις πραγματικές πιθανότητες και έχουν παντελώς λανθασμένη εικόνα για τα ενδεχόμενα της επιτυχίας.

Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει στον τζόγο και το στοίχημα, όταν οι παίκτες συχνά δρουν ουσιαστικά εντελώς εναντίον των ίδιων των συμφερόντων τους, ειδικά όταν βομβαρδίζονται και πέφτουν θύματα εξαπάτησης μέσω έξυπνων τεχνασμάτων μάρκετινγκ των στυοιχηματων εταιριών ή ενθαρρύνονται να ενδώσουν στο ποντάρισμα και στον τζογο, ως μια επιλογή lifestyle και όχι ως ζήτημα με μαθηματικές διαστάσεις, όπως προφανώς και είναι στην  πραγματικότητα. Το στοίχημα απαιτεί την ικανότητα να αντιληφθεί κανείς αν οι προσφερόμενες αποδόσεις για ένα ενδεχόμενο αντιπροσωπεύουν σωστά τις πιθανότητες επαλήθευσης.

Ανεξάρτητα αν μιλάμε για ένα τηλεπαιχνίδι, το τζόκερ ή το online στοίχημα, το να αντιλαμβάνεται κανείς πότε οι πιθανότητες είναι υπέρ του και πότε υπάρχει πραγματική αξία στα πονταρίσματά του, είναι το κλειδί για να έχει πιθανότητες να βγει κερδισμένος μακροπρόθεσμα στη μάχη εναντίων στις στοιχηματικες εταιριες.