Γεννήθηκε στην Αθήνα και φοίτησε στη δραματική σχολή του Κώστα Μιχαηλίδη. Η παρθενική της εμφάνιση στη σκηνή ήταν στη σκηνή του θεάτρου Κοτοπούλη – Ρεξ, στην «Αντιγόνη» του Σοφοκλή, όταν ήταν ακόμη μαθήτρια. Το επαγγελματικό της ντεμπούτο έγινε το 1955, στο θέατρο – σινεμά «Διονύσια» της Καλλιθέα, με τη Νέα Ελευθέρα Σκηνή του Διονύση Παγουλάτου, στο έργο «Η απαγωγή της Σμαράγδως». Ακολούθησε η συμμετοχή της σε πολλά ακόμη θεατρικά έργα Ελλήνων αλλά και ξένων συγγραφέων, από τον Γεώργιο Ξενόπουλο μέχρι τον Ουίλλιαμ Σαίξπηρ. Στενή και μακροχρόνια ήταν η επαγγελματική σχέση της Ελεάνας Απέργη με το Κρατικό Θέατρο Βορείου Ελλάδος με το οποίο συνεργάστηκε, αδιάποκα, από το 1973 έως το 1987. Η τελευταία της συνεργασία με το ΚΘΒΕ, στη δραματική σχολή του οποίου επίσης δίδασκε για πάνω από μία δεκαετία, ήταν η «Στέλλα Βιολάντη» του Γρηγορίου Ξενόπουλου, που παρουσιάστηκε σε σκηνοθεσία Κώστα Τσιάνου στο Βασιλικό Θέατρο το 1987.

Το αντίο του ΚΘΒΕ

  Στο ΚΘΒΕ η Ελεάνα Απέργη συνεργάστηκε με μεγάλους σκηνοθέτες όπως ο Μίνως Βολανάκης, Κωστής Μιχαηλίδης, Σπύρος Ευαγγελάτος, Πέλος Κατσέλης, Κώστας Μπάκας, Κώστας Τσιάνος, Γιώργος Ρεμούνδος, Γιάννης Χουβαρδάς, Πάνος Παπαϊωάννου, Γρηγόρης Μασαλάς, Γιαν Κάπλαν, Λάμπρος Κωστόπουλος, Διαγόρας Χρονόπουλος, συμμετέχοντας σε σπουδαία έργα. Σημαντική ήταν η παρουσία της σε παραστάσεις αρχαίου δράματος του ΚΘΒΕ που έγραψαν ιστορία όπως: «Ηλέκτρα» του Σοφοκλή με την Άννα Συνοδινού (1975), «Μήδεια» του Ευριπίδη με την Μελίνα Μερκούρη, Ιάσονα τον Δημήτρη Παπαμιχαήλ και τροφό την Ελεάνα Απέργη (1976), «Μήδεια» του Σενέκα με την Αντιγόνη Βαλάκου (1979), «Ικέτιδες» του Αισχύλου (1983) «Ικέτισσες» του Ευριπίδη (1985) παίζοντας τρείς φορές στο Αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου, στο Ηρώδειο, σε αρχαία θέατρα σε όλη την Ελλάδα καθώς και στην Κύπρο, την Βουλγαρία και την Σοβιετική Ένωση. Η Ελεάνα Απέργη συνεργάστηκε με το ΚΘΒΕ σε είκοσι πέντε παραγωγές. Τελευταία της συνεργασία ήταν η παράσταση «Στέλλα Βιολάντη» του Γρηγορίου Ξενόπουλου, που παρουσιάστηκε σε σκηνοθεσία Κώστα Τσιάνου στο Βασιλικό Θέατρο το 1987. Παράλληλα, δίδαξε για δώδεκα χρόνια στη Δραματική Σχολή του ΚΘΒΕ.